دراسة مسألة التحريك الحدية الأولى لنظرية المرونة الرياضية

الملخص

نستعرض الرموز والتعاريف اللازمة لتوضيح محتوى هذا البحث ، :       لتكن نقاط من الفضاء ؛ حيث المسافة بين و هي :. ولتكن منطقة منتهية محدودة بالسطوح المغلقة من الصف :؛ حيث مغلَّف لكل و .

تعريف 1 : نقول عن السطح إنَّه ينتمي للصف ؛ حيث أي عدد طبيعي ، إذا وجد عدد موجب ؛ بحيث إنَّ كل نقطة تقابل جملة متعامدة منظَّمة من المتجهات ؛ وبحيث إنَّ الجزء من المحدود داخل الاسطوانة ليس له أي نقاط مشتركة مع قاعدتي الاسطوانة . 

      نرمز بـ للمنطقة المنتهية والمحدودة بـ ، أيضاً :   

           

      نرمز بـ للمجال و للمجال كما نرمز بـ لاسطوانة في و ؛ حيث . نرمز بـ للامتناهي في الكبر .

إذا كانت مصفوفة ، فإنَّ : . كما نرمز بـ لمنقولها  

      نرمز بـ ( عدد صحيح غير سالب ) لفضاء الدوال المعرَّفة على Ω ، والتي  مشتقاتها حتى المرتبة مستمرة في Ω ، ونرمز بـ  لصف الدوال من

  والتي مشتقاتها مستمرة في كل نقطة من نقاط حدود المنطقة .

تأخذ متراجحة بيسل الشكل الآتي : 

                      

حيث عنصر من فضاء هلبرت ، جملة غير صفرية متعامدة في فضاء هلبرت .  

تأخذ متراجحة كوشي - بونياكوفسكي الشكل الآتي : 

                               

مبرهنة هلبرت-شميدت : إذا كانت النواة قابلة للجمع مع دالة تربيعية بمتحولين فالمتسلسلة ، تتقارب وسطياً من الدالة  

تعريف 2 : نقول عن المتجه إنَّه منتظم في ، إذا كان :   وذلك من أجل : .

تعريف 3 : إذا كانت مصفوفة مربَّعة من المرتبة الثالثة عناصرها عبارة عن مشتقات جزئية ، فإنَّ تنسور غرين يعرَّف بالعلاقة التالية : تعريف 4 : نقول عن الوسط المرن إنَّه متجانس ومتساوي الخواص إذا كانت خواص المرونة واحدة لهذا الوسط في كل الاتجاهات . أو أنَّ ثوابت المرونة للوسط لا تتعلق بتوجيه المحاور الإحداثية [ 3 ] . 

إنَّ جملة المعادلات التفاضلية لنظرية المرونة الكلاسيكية في حالة التحريك ومن أجل الأوساط المرنة المتجانسة والمتساوية الخواص تعطى بالشكل :

( 1 )                   

حيث متجه الانزياح ، مؤثر لابلاس ثلاثي البعد ، 

متجه القوة الحجمية ، كثافة الوسط و   الزمن ، ثوابت لاما للمرونة 

وهي تحقق الشروط : .

      سنتعامل في هذا البحث فقط مع الدوال المتجهية الحقيقية ؛ حيث أي متجه ثلاثي

البعد ، مع النظيم ، سنعتبره كمصفوفة عمود من المرتبة ، أي .

بفرض مؤثر تفاضلي مصفوفي فيه :

                          

حيث ديلتا كرونيكر . فجملة المعادلات (1) تكتب بالشكل المصفوفي الآتي :

( 2 )                        

يدعى المؤثر التفاضلي المصفوفي : ؛ حيث : 

           

مؤثر الإجهاد و هو متجه الوحدة الاختياري في النقطة ( إذا كان : ، فإنَّ يكون ناظماً خارجياً للمنطقة ) . 

إذا فرضنا أنَّ المناطق كانت ممتلئة بأوساط مرنة متجانسة ومتساوية الخواص مع ثوابت لاما والكثافة ، بينما المناطق الأخرى كانت فارغة ، فإنَّ المؤثرات   و التي تحتوي على عوضاً عن تأخذ على الترتيب الشكل و . إضافة لذلك نرمز بـ : 

                              

وهي عبارة عن حالة خاصة من الحالة العامة لـ ( 2 ) أي عندما :

بالطريقة نفسها نعلم ماذا نقصد بـ .

 

صياغة المسألة :  

أوجد في الاسطوانة ، المتجه المنتظم الذي يحقق جملة المعادلات : 

( 3 ) 

مع الشروط الابتدائية : 

( 4 )                                       

                               

وكذلك مع الشروط الحدية : 

( 5 )

تجدر الإشارة هنا أنَّنا سنرمز لهذه المسألة بالرمز. كما يفترض بالدوال المتجهية المعطاة أنْ تحقق الشروط الآتية : 

1) ، والتفاضلات من المرتبة الثالثة تنتمي للصف . وأنَّ :

                                               

2)                                 

    

3)                               

    

4)                                

5) ، والتفاضلات من المرتبة الثالثة تنتمي للصف . وأنَّ :               

                                   

6) ، والتفاضلات من المرتبة الثالثة تنتمي للصف . وأنَّ : 

                                                

تمَّ إثبات وحدانية الحل المنتظم لهذه المسألة في . 

إذا كان حلاً منتظماً للمسألة وكان حلاً منتظماً للمسألة . فإنَّ :        

سيكون حلاً منتظماً للمسألة . 

       إنَّ وجود الحل ، وحسب فرضياتنا ، ينتج من النتائج الموجودة في . لذلك بقي علينا إثبات وجود الحل المنتظم للمسألة ؛ حيث سنستعمل لإثبات ذلك طريقة جديدة تعرف بطريقة فورييه ، وهو هدف هذا البحث .

المناقشة والنتائج : 

سنعرض لمفهوم أساسي له دور كبير في هذا البحث : 

∙ صيغ غرين : إذا كان و ؛ حيث متجهين اختياريين ينتميان للصف ، كما أنَّ تفاضلاتهما من المرتبة الثانية تنتمي للصف . 

 

عندئذٍ تتحقق العلاقات الآتية :

 ( 6 )       

( 7 ) 

هنا :

                

إذا كتبنا بالشكل :

  

فإنَّنا نجد أنَّ :   و

إنَّ تحقيق هدف هذا البحث يتم أولاً من خلال إثبات صحة المبرهنتين الآتيتين : 

 

مبرهنة 1 : المتراجحة لآتية : 

( 8 )                           

حيث :  

                                               

محققة ، وذلك من أجل أي متجه : يحقق الشروط :

             

                       

في الحالة الخاصة فإنَّ المبرهنة تضمن تقارب المتسلسلة من الجهة اليسرى لـ(8) .

الإثبات : لنطبق العلاقة (6) على المتجهات و ، فنجد :

( 9 )                            

وفي حالة خاصة إذا جعلنا  في (9) فإنَّنا نجد : 

( 10 )                            

إذا أخذنا بعين الاعتبار القيمة غير السالبة : 

                                                     

وفرضنا أنَّ :   

                                          

فإنَّه ، وبحساب بسيط ، نحصل على : 

( 11 )        

نجد من العلاقات (9) و (10) و (11) أنَّ : 

                                

مبرهنة 2 : المتراجحة الآتية : 

( 12 )                           

محققة وذلك من أجل أي متجه : يحقق الشروط الآتية : 

        

      

                          

في الحالة الخاصة فإنَّ المبرهنة تضمن تقارب المتسلسلة من الجهة اليسرى لـ(12) .

الإثبات : لنطبق العلاقة (7) على المتجهات و ، فنجد :

( 13 )                                    

إذا أدخلنا حساب من (13) فإنَّنا نحصل على : 

                                                   

هنا : 

( 14 )                               

وباستخدام متراجحة بيسل نجد :

( 15 )                        

ومن أجل فإنَّنا نحصل على (12) وذلك بتعويض (14) في (15) . 

إنَّ تحقيق هدف هذا البحث يتم ثانياً من خلال إثبات المبرهنة الآتية :

مبرهنة 3 : إذا حققت الدوال الشروط  ( 3 )  و ( 4 ) و ( 5 ) ، فإنَّ المتسلسلة :

       

عبارة عن حل منتظم للمسألة .

الإثبات : ليكنأي عدد صحيح موجب (اختياري) ولتكن مصفوفة واحدية من المرتبة و . 

نطبق تنسور غرين من المسألة الأساسية الأولى للمؤثر إلى

المصفوفة من المرتبة الثالثة : ؛ حيث و ، تحقق هذه المصفوفة الشروط الآتية :

1)     

2)    

3)

4)

حيث  مصفوفة الحلول الأساسية مع ثوابت لاما و 

حل منتظم للمسألة الآتية : 

           

  

 

إنَّ قابلية الحل لهذه المسألة مثبتة في ؛ حيث تمَّ إثبات وجود. 

وباستعمال علاقة غرين فإنَّه يمكن إثبات أنَّ تمتلك خواص التماثل من الشكل : 

( 16 )                                    

أضف لذلك لدينا التقديرات الآتية :

( 17 )    

لنفرض أنَّ المسألة معطاة مع القيم الذاتية :

( 18 )